Olá
Como já foi aconselhado, caso opte por um cão de raça, seja ela qual for, peca a lista de criadores no site do CPC, visite vários criadores.
Agora em relação às raças em questão, só posso falar sobre o Basset, nunca tive contacto com o Bulldog. É sem sombra de duvidas um cão amigável, carinhoso, dependente, super sociável, quer com pessoas ou outros animais. Pelo que vejo da minha cadela, da-se muito bem com crianças.
Como já foi dito também, são cães activos, adoram uns bons passeios e umas boas brincadeiras, principalmente com outros cães. Mas depois tem o outro lado mais calmo, adoram dormir, e dentro de casa são bastante calmos, desde que tenham bons passeios diários, onde gastem energia.
Em relação ao treino, são muito conhecidos pela teimosia característica, mas com os motivadores certos nos treinos, fazem tudo e aprendem mesmo muito rápido. Sem a motivação certa, aí sim, o treino é mais difícil, porque o instinto de caça fala mais alto e ficam completamente surdos, só querem cheirar, cheirar, cheirar....... Prepare-se para ter um cão com o nariz sempre colado ao chão.

Como disse atrás, são muito dependentes dentro de casa e não se adaptam bem à solidão, é importante ter em conta este factor, se não quiser ter um cão que ladre e uive enquanto os donos vão trabalhar.